Science
Brins, involutions et orbites, avec un cube interactif et un quiz.
Pédagogie et sujet de thèse
Six courtes leçons sur la structure de ma thèse, un cube déplié à explorer brin par brin, et un quiz pour vérifier.
Un maillage classique stocke des sommets, des arêtes et des faces. Une carte généralisée (G-carte) stocke autre chose : des brins. On découpe chaque face en ses côtés, puis chaque côté en deux moitiés, une à chaque extrémité : chaque moitié est un brin.
Un carré a 4 côtés, donc 8 brins. Le cube a 6 faces carrées : sa G-carte compte 6 × 8 = 48 brins. Ce sont les petits segments de la figure ci-dessous ; le point marque l'extrémité, c'est-à-dire le sommet, auquel appartient le brin.
Les brins sont reliés deux à deux, et chaque liaison change une seule chose. α0 relie les deux brins d'un même côté : même face, même arête, autre sommet. α1 relie, en un sommet, les brins de deux côtés consécutifs : même face, même sommet, autre arête. α2 relie les brins de deux faces voisines : même arête, même sommet, autre face.
Chaque αi est une involution : l'appliquer deux fois ramène au brin de départ, αi(αi(d)) = d. Un brin sans partenaire pour α2 est relié à lui-même : il est « 2-libre », et il marque un bord de la surface. Le cube est fermé : aucun de ses brins n'est libre.
L'objet. Deux carrés qui partagent une arête : 2 faces, 7 arêtes, 6 sommets. On construit sa G-carte dimension par dimension.
Dimension 0 → 1 : α0. Chaque côté de chaque face devient deux brins, un par extrémité ; une liaison α0 (trait noir court) relie les deux moitiés d'une même arête. L'arête partagée apparaît encore deux fois, une par face : 16 brins, 8 liaisons α0.
Dimension 1 → 2 : α1. Dans chaque face, les deux brins qui se rejoignent à un coin sont reliés par α1 (arc rouge autour du sommet). Chaque face se referme : la suite α0, α1, α0, α1… en fait le tour. 8 liaisons α1.
Dimension 2 : α2. Les deux faces sont cousues le long de l'arête qu'elles partagent : α2 (double trait bleu) relie chaque brin de cette arête au brin de l'autre face au même sommet. 2 liaisons α2 ; les 12 brins du bord restent libres pour α2.
La G-carte. 16 brins et leurs liaisons α0, α1, α2 : rien d'autre n'est stocké. Les sommets, arêtes et faces se retrouvent comme orbites (6 sommets, 7 arêtes, 2 faces), et χ = 6 − 7 + 2 = 1, celle d'un disque.
Cliquez sur un brin, ou utilisez les boutons α pour vous déplacer.
Les liaisons ne se posent pas au hasard. Prenons une arête de la face A, qui va du sommet v au sommet w, et un brin d de A en v ; son voisin α0(d) est en w. Si α2 coud d au brin d' de la face B, l'arête doit être cousue d'un seul tenant : l'autre bout aussi, α2(α0(d)) = α0(d'). Comme d' = α2(d), cela s'écrit α2 α0 = α0 α2 : aller au bout de l'arête puis changer de face, ou changer de face puis aller au bout, mène au même brin.
De là vient l'involution. En remplaçant α2 α0 par α0 α2 au milieu, α0 α2 α0 α2 = α0 α0 α2 α2, et chaque αi appliqué deux fois s'annule : le cycle revient au brin de départ. À l'inverse, si α0 α2 est une involution, il est son propre inverse, α2 α0 : les deux énoncés sont équivalents. Ce qu'ils interdisent, c'est une arête cousue à B par un bout et à une autre face, ou à rien, par l'autre. Un bord reste permis, à condition d'être libre aux deux bouts.
Cette règle ne vaut que pour α0 et α2, qui ne se suivent pas. α0 α1 avance d'un sommet autour d'une face : sur un carré, il faut quatre pas, pas deux, pour revenir au départ. α1 α2 tourne autour d'un sommet : trois pas sur le cube.
La bibliothèque du projet vérifie ces contraintes pour chaque brin ; une carte qui les viole n'est pas une G-carte.
Sommets, arêtes et faces ne sont pas stockés : on les retrouve en suivant certaines liaisons. L'orbite ⟨α1, α2⟩ d'un brin, tous les brins atteints en n'utilisant que α1 et α2, est un sommet. L'orbite ⟨α0, α2⟩ est une arête, l'orbite ⟨α0, α1⟩ une face, et ⟨α0, α1, α2⟩ toute la composante connexe.
Dans le cube, un sommet regroupe 6 brins (3 faces s'y rejoignent, 2 brins chacune), une arête 4, une face 8. Choisissez un brin dans la figure et affichez ses orbites.
Compter les orbites donne la caractéristique d'Euler : χ = S − A + F. Pour le cube, 8 − 12 + 6 = 2, comme pour toute surface sans trou ; un tore donne 0. Avec le nombre de composantes et de bords, on en déduit le genre, le nombre de « trous ».
Les G-cartes représentent aussi les surfaces non orientables. Une surface est orientable si l'on peut colorier ses brins en deux couleurs de sorte que chaque liaison relie deux couleurs différentes. Sur le ruban de Möbius, c'est impossible : un tour du ruban ramène à la couleur de départ.
Chaque brin connaît ses voisins directs : beaucoup de calculs topologiques se font localement, brin par brin, donc en parallèle. Les G-cartes s'étendent sans changer de principe à la dimension 3 (avec α3, pour des volumes) et au-delà.
Dans ma thèse, ce formalisme a servi à analyser la topologie de maillages de l'arbre vasculaire cérébral, à partir d'informations locales calculées en parallèle.